W ich artykule, opublikowanym online pod koniec listopada 2022 r., kluczowa część dowodu obejmuje wykazanie, że w większości nie ma sensu mówić o tym, czy pojedyncza kostka jest silna, czy słaba. Kości Buffetta, z których żadna nie jest najmocniejsza z paczki, nie są takie niezwykłe: jeśli losowo wybierzesz kość, jak pokazał projekt Polymath, prawdopodobnie pokona około połowy pozostałych kości i przegra z drugą połową. „Prawie każda kość jest dość przeciętna” – powiedział Gowers.
Projekt odbiegał od pierwotnego modelu zespołu AIM pod jednym względem: aby uprościć niektóre kwestie techniczne, projekt zadeklarował, że kolejność liczb na kostce ma znaczenie — na przykład 122556 i 152562 można by uznać za dwie różne kostki. Ale wynik Polymath, w połączeniu z eksperymentalnymi dowodami zespołu AIM, stwarza silne przypuszczenie, że przypuszczenie jest również prawdziwe w oryginalnym modelu, powiedział Gowers.
„Byłem absolutnie zachwycony, że wymyślili ten dowód” – powiedział Conrey.
Jeśli chodzi o kolekcje czterech lub więcej kości, zespół AIM przewidział podobne zachowanie do trzech kości: na przykład, jeśli A bije B, B bije CI C bije Dto prawdopodobieństwo tego powinno wynosić około 50:50 D bije Azbliżając się dokładnie do 50-50, gdy liczba ścianek na kostce zbliża się do nieskończoności.
Aby przetestować to przypuszczenie, naukowcy przeprowadzili symulację bezpośrednich turniejów dla zestawów czterech kości z 50, 100, 150 i 200 bokami. Symulacje nie były zgodne z ich przewidywaniami tak dokładnie, jak w przypadku trzech kostek, ale wciąż były wystarczająco bliskie, aby wzmocnić ich wiarę w przypuszczenie. Ale chociaż naukowcy nie zdawali sobie z tego sprawy, te małe rozbieżności niosły ze sobą inną wiadomość: w przypadku zestawów czterech lub więcej kości ich przypuszczenia są fałszywe.
„Naprawdę chcieliśmy [the conjecture] być prawdą, bo to byłoby fajne” – powiedział Conrey.
W przypadku czterech kostek Elisabetta Cornacchia ze Szwajcarskiego Federalnego Instytutu Technologii w Lozannie i Jan Hązła z Afrykańskiego Instytutu Nauk Matematycznych w Kigali w Rwandzie wykazali w artykule opublikowanym w Internecie pod koniec 2020 r., że jeśli A bije B, B bije CI C bije DNastępnie D ma nieco większą niż 50% szansę na pokonanie A—pewnie gdzieś w okolicach 52 proc., powiedział Hązła. (Podobnie jak w artykule Polymath, Cornacchia i Hązła zastosowali nieco inny model niż w artykule AIM.)
Odkrycie Cornacchii i Hązły wynika z faktu, że choć z reguły pojedyncza kość nie będzie ani silna, ani słaba, to para kości może czasem mieć wspólne obszary siły. Jeśli wybierzesz losowo dwie kości, pokazali Cornacchia i Hązła, istnieje spore prawdopodobieństwo, że kości będą skorelowane: będą miały tendencję do wygrywania lub przegrywania z tymi samymi kośćmi. – Jeśli poproszę o utworzenie dwóch zbliżonych do siebie kostek, okazuje się, że jest to możliwe – mówi Hązła. Te małe obszary korelacji odsuwają wyniki turniejów od symetrii, gdy tylko na obrazie pojawią się co najmniej cztery kości.
Ostatnie artykuły to nie koniec historii. Artykuł Cornacchii i Hązły dopiero zaczyna odkrywać dokładnie, w jaki sposób korelacje między kostkami zaburzają równowagę symetrii turniejów. W międzyczasie wiemy jednak, że istnieje wiele zestawów nieprzechodnich kości — może nawet taki, który jest na tyle subtelny, że skłoni Billa Gatesa do wybrania pierwszego.
Oryginalna historia przedruk za zgodą Magazyn Quanta, niezależną redakcyjnie publikację pt Fundacji Simonsa którego misją jest zwiększanie publicznego zrozumienia nauki poprzez informowanie o rozwoju badań i trendach w matematyce, naukach fizycznych i przyrodniczych.
