Sześć najtrudniejszych zagadek matematycznych. Nikt ich nie rozwiązał, choć nagroda jest wysoka

Czym są problemy milenijne?

To najbardziej złożone zagadnienia we współczesnej matematyce. W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya (USA) wskazał ich siedem. Za rozwiązanie zaoferowano 1 mln dol. nagrody (ang. Millennium Prize Problems).

Wkrótce jeden problemów udało się rozwikłać. To hipoteza Poincarégo. Udowodnił ją w 2003 r. genialny rosyjski matematyk, dr Grigorij Perelman. Dowód tej hipotezy pozwala w nowy sposób spojrzeć na kształt Wszechświata. Możliwe, że zamieszkujemy na trójwymiarowej powierzchni w czterowymiarowym świecie, tylko nie jesteśmy w stanie tego dostrzec.

Pozostałe sześć zagadek (lub pięć, jeśli OpenAI znalazło rozwiązanie równań Naviera-Stokesa) czeka na rozwiązanie. Są to:

1. Hipoteza Riemanna. Ukryty sens liczb pierwszych

Już starożytni Grecy zdawali sobie sprawę, że liczby pierwsze ciągną się w nieskończoność. Dotąd nikt nie zrozumiał sensu ich rozkładu. Liczby pierwsze to takie, które są podzielne tylko przez jeden i siebie samą (czyli 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd…). W ciągu liczb naturalnych wydają się pojawiać chaotycznie. Jednocześnie liczby pierwsze mają kluczowe znaczenie w matematyce.

Jak najprościej opisać ten problem? To trochę tak, jakbyśmy patrzyli na rozsypane gwiazdy na niebie. Podejrzewamy, że w rzeczywistości tworzą idealny wzór. Jednak nie potrafimy go dostrzec. Przynajmniej na razie.

Hipoteza. Sformułowana przez Bernharda Riemanna w 1859 r. hipoteza dotyczy rozmieszczenia liczb pierwszych. Riemann odkrył, że można badać je za pomocą specjalnej funkcji matematycznej (tzw. funkcji dzeta). Jego hipoteza mówi, że wszystkie ważne punkty tej funkcji leżą dokładnie na jednej linii (chodzi o tzw. zera nietrywialne). Problem polega jednak na tym, że nikomu jak dotąd nie udało się przedstawić dowodu. A próbowali najwięksi na świecie.

Dlaczego to ważne? Rozwiązanie dałoby matematykom znacznie lepsze zrozumienie liczb pierwszych, które są fundamentem całej teorii liczb. Wpłynęłoby prawdopodobnie na bezpieczeństwo cyfrowe, szybkość algorytmów, rozwój matematyki i technologii, których jeszcze nie znamy. To trochę jak odkrycie nowego prawa fizyki, które po latach może doprowadzić do rewolucyjnych wynalazków.

2. Problem P versus NP. Jego rozwiązanie mogłoby zniszczyć bezpieczeństwo w sieci

To jedno z najważniejszych pytań informatyki teoretycznej. Dotyczy relacji między klasami problemów. Pytanie brzmi: czy każdy problem, którego rozwiązanie łatwo sprawdzić, można również łatwo rozwiązać?

• P: problemy, które można rozwiązać efektywnie.
• NP: problemy, których rozwiązanie można efektywnie zweryfikować.

Przykład. Wyobraźmy sobie sudoku. Gdy ktoś poda nam gotowe rozwiązanie, szybko dowiemy się, czy jest ono poprawne.

Wystarczy sprawdzić:

• czy w każdym wierszu są wszystkie cyfry;
• czy w każdej kolumnie są wszystkie cyfry;
• czy w każdym kwadracie nie ma powtórzeń.

Ale znalezienie rozwiązania sudoku, zaczynając od zera, jest dużo trudniejsze.

W tym przypadku pytanie P versus NP brzmi: czy istnieje sprytny sposób, który pozwala rozwiązać każde sudoku równie łatwo, jak sprawdzić gotowe rozwiązanie?

Przykład. Wyobraźmy sobie sejf z 20-cyfrowym kodem. Kiedy ktoś poda nam sekwencję cyfr, łatwo sprawdzimy jej poprawność, próbując otworzyć sejf. Ale bez kodu szansa na trafienie takiej kombinacji wynosi 1 do 100 trylionów.

• Jeszcze inny przykład. Wyobraźmy sobie trudności, jakie stają przed kurierem, który musi odwiedzić kilka miast, dostarczyć przesyłki do każdego z nich dokładnie raz, a następnie wrócić do punktu startu. Chce przy tym przejechać jak najmniejszą liczbę kilometrów. Problem wydaje się prosty: dla trzech miast trasy są tylko dwie. Dla pięciu — jest ich 24. Ale dla 10 już 362 880, a dla 20 — ponad 121 bld.

Dlaczego to ważne? Wynik miałby ogromny wpływ na wiele dziedzin życia.

Jeśli odpowiedź na tę zagadkę jest możliwa, to wiele bardzo trudnych problemów komputerowych stałoby się łatwych. Jednocześnie oznacza to, że niektóre systemy kryptograficzne przestałyby być bezpieczne, ponieważ można byłoby je bardzo łatwo złamać. Mogłoby to spowodować upadek serwisów internetowych, sektora finansowego czy administracji publicznej. Z drugiej strony rozwiązałoby wiele zadań optymalizacyjnych związanych z transportem i produkcją czy choćby z projektowaniem leków.

Jeśli jednak odpowiedź nie jest możliwa, oznaczałoby to, że istnieją zadania, których sprawdzenie jest łatwe, ale znalezienie rozwiązania pozostaje bardzo trudne.

3. Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera. Co cień góry mówi o niej samej?

Problem dotyczy krzywych eliptycznych, czyli szczególnego rodzaju obiektów algebraicznych. Hipoteza wiąże rozwiązanie równania opisującego krzywą z własnościami odpowiadającej jej funkcji L.

Pisząc prościej: czy można z góry przewidzieć, ile rozwiązań ma pewna klasa równań?

Hipoteza mówi, że można to odczytać z innego obiektu matematycznego zwanego funkcją L.

Przykład. Wyobraźmy sobie firmę logistyczną. Nie wiemy, jak wyglądają jej magazyn i lista przesyłek, ale znamy dane o ruchu ciężarówek. Hipoteza mówi mniej więcej: „Patrząc wyłącznie na ruch ciężarówek, można dokładnie określić, jak wygląda struktura magazynu i ile różnych rodzajów przesyłek się w nim znajduje”. W tym przypadku funkcja L jest odpowiednikiem ruchu ciężarówek, a krzywa eliptyczna — magazynu.

Inny przykład. Wyobraźmy sobie górę ukrytą we mgle. Nie możemy zobaczyć jej samej, ale wiemy, że istnieje, bo na ziemi pojawia się jej cień. W tym przypadku góra to krzywa eliptyczna i jej rozwiązania. Cień to funkcja L.

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera mówi: jeśli bardzo dokładnie zmierzysz cień, będziesz mógł odtworzyć najważniejsze własności góry. To zaskakujące, bo cień wygląda dużo prościej od samego obiektu. Matematycy twierdzą jednak, że zawiera on ukrytą informację o liczbie rozwiązań równania.

Dlaczego to tak trudne? Krzywe eliptyczne należą do teorii liczb, a funkcje L do analizy matematycznej. Hipoteza próbuje połączyć dwie bardzo różne dziedziny matematyki. Matematycy od dziesięcioleci znajdują liczne dowody pośrednie i szczególne przypadki zgodne z hipotezą, ale pełnego dowodu nadal nie ma.

Dlaczego to ważne? Rozwiązanie tej zagadki samo w sobie niby nie rozwiązuje codziennego problemu, ale może pogłębić wiedzę o strukturze liczb i krzywych eliptycznych, na których już dziś opierają się pewne systemy kryptograficzne.

Głębsze zrozumienie ich własności mogłoby:

• pomóc projektować bezpieczniejsze systemy szyfrowania;
• wykrywać słabości niektórych metod kodowania;
• prowadzić do opracowania nowych algorytmów kryptograficznych.

Dla zwykłego człowieka oznaczałoby to potencjalnie bezpieczniejszą bankowość elektroniczną, zakupy online, komunikatory itp.

Mogłoby również doprowadzić do opracowania nowych metod obliczeniowych, których zastosowań jeszcze nie znamy.

4. Hipoteza Hodge’a. Czy każdy obiekt da się prosto opisać?

Hipoteza Hodge’a należy do geometrii algebraicznej. Dotyczy związku pomiędzy strukturą geometryczną pewnych przestrzeni a ich własnościami topologicznymi.

W uproszczeniu: matematycy chcą wiedzieć, czy skomplikowane kształty geometryczne da się w pełni zrozumieć przez analizę prostszych „klocków”, tak jak ogromny model miasta można opisać za pomocą elementów LEGO, z których został zbudowany.

Choć brzmi abstrakcyjnie, hipoteza Hodge’a dotyczy jednego z najważniejszych pytań matematyki: czy za skomplikowanymi strukturami zawsze kryje się prostszy porządek? To podobna idea jak w fizyce, gdy szukamy kilku podstawowych praw wyjaśniających ogromną liczbę zjawisk.

Przykład. Wyobraźmy sobie ogromny pałac o skomplikowanej budowie. Jak go opisać? Możemy to zrobić na dwa sposoby — obejść cały budynek i zmierzyć każdy pokój. Albo przestudiować plan architektoniczny. Hodge pyta w pewnym sensie: czy każdy ważny element budynku (pokoje, korytarze, schody itd.) da się odnaleźć na planie? Jeśli odpowiedź brzmi „tak”, to zamiast badać gigantyczny budynek bezpośrednio i całościowo, wystarczy analizować jego plan.

Inny przykład. Wyobraźmy sobie lekarza oglądającego zdjęcie rentgenowskie. Nie widzi on całego ciała badanej osoby, ale na podstawie obrazu potrafi zrozumieć jego strukturę. Hipoteza Hodge’a pyta: czy pewne informacje ukryte w bardzo skomplikowanym obiekcie można zawsze odczytać z prostszego matematycznego „rentgena”? Matematycy podejrzewają, że tak. Dotąd nie potrafią tego jednak udowodnić.

Jeszcze jeden przykład. Wyobraźmy sobie model miasta zbudowany z klocków LEGO. Czy każdy istotny fragment tego miasta można rozłożyć na standardowe klocki LEGO? Jeśli tak, to zamiast analizować całe miasto, wystarczyłoby zrozumieć zestaw podstawowych klocków. W matematyce tymi „klockami” są obiekty algebraiczne, a „miastem” — bardzo skomplikowane przestrzenie geometryczne.

Dlaczego to ważne? Bo pomaga porządkować wiedzę o bardzo złożonych obiektach.

Matematycy badają przestrzenie o setkach lub tysiącach wymiarów. Bez odpowiednich narzędzi przypominałoby to próbę zrozumienia całego internetu poprzez czytanie każdego pliku po kolei. Hipoteza Hodge’a sugeruje, że istnieje prostszy sposób opisu takich struktur.

Tak jak hipoteza Riemanna pyta o ukryty porządek wśród liczb, tak hipoteza Hodge’a próbuje zrozumieć ukryty porządek wśród kształtów.

Dlaczego to trudne? Bo łączy różne działy matematyki — geometrię, algebrę, topologię. Próbę rozwiązania można porównać do próby stworzenia wspólnego języka dla biologii, chemii i fizyki.

5. Problem Yanga-Millsa

Spośród wszystkich problemów milenijnych ten jest zdecydowanie najtrudniejszy do opisania. W wielkim skrócie polega on na stworzeniu matematycznych podstaw dla teorii cząstek elementarnych.

Jednym z najważniejszych sukcesów teorii Yanga–Millsa było opisanie oddziaływań sił, które działają między kwarkami. Kwarki są podstawowymi składnikami protonów i neutronów. Budują materię, z której składa się świat wokół nas. Fizycy obserwowali w eksperymentach, że cząstki wynikające z tych teorii mają masę (np. protony czy piony). Matematycy nie potrafią jednak udowodnić za pomocą równań, że ta masa musi wynosić więcej niż zero.

Teoria Yanga–Millsa opisuje fundamentalne oddziaływania cząstek elementarnych i stanowi podstawę dużej części współczesnej fizyki cząstek.

Przykład: Wyobraźmy sobie państwo składające się z miast. Miasta to cząstki, a drogi między nimi to pola. W klasycznej fizyce najważniejsze są miasta. Ale w teorii Yanga-Millsa okazuje się, że równie ważne jak miasta są same drogi, bo mogą przenosić informację, energię i wpływać na ruch. Co więcej, drogi mogą wpływać na inne drogi. To trochę tak, jakby kurierzy nie tylko dostarczali paczki, ale jednocześnie przeszkadzali albo pomagali innym kurierom.

Pytanie nie brzmi, czy teoria Yanga-Millsa działa w praktyce. Działa znakomicie. Matematykom chodzi o to, czy można ją ściśle i bez luk uzasadnić matematycznie oraz udowodnić istnienie tzw. luki masowej, czyli minimalnej niezerowej energii wzbudzeń.

Czym jest ta luka? To przerwa między energią stanu próżni (stanu najniższej energii) a energią najlżejszego stanu wzbudzonego, czyli najmniejszą możliwą masą cząstki.

Przykład. Wyobraźmy sobie strunę gitary. Jeśli za nią szarpnąć, zacznie drgać. Każde drganie ma pewną minimalną energię, jednak między ciszą a pierwszym słyszalnym dźwiękiem istnieje pewna luka. Upraszczając: przypomina ona pojęcie luki masowej. W teorii Yanga-Millsa matematycy podejrzewają, że podobna luka istnieje dla cząstek — nie można mieć dowolnie małej energii. Trzeba „przeskoczyć” pewien minimalny próg.

Dlaczego to ważne? Samo matematyczne potwierdzenie teorii Yanga-Millsa prawdopodobnie nie zmieni bezpośrednio życia zwykłego człowieka. Zwłaszcza w krótkiej perspektywie. Jednak jej pełne matematyczne zrozumienie mogłoby ujawnić własności materii, których dziś jeszcze nie znamy.

6. Problem Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa to problem, który rozwiązać miał model sztucznej inteligencji od OpenAI. W dość niejasnym oświadczeniu firma przyznała, że do prac nad poszukiwaniem rozwiązania zainspirowały ją „plotki”, że matematycy pracują nad dowodem w tej sprawie i są bliscy przełomu.

Równania Naviera-Stokesa opisują, jak poruszają się płyny (ciecze i gazy) pod wpływem różnych sił. Dzięki nim można modelować:

• przepływ wody w rzekach;
• ruch powietrza wokół samolotu;
• pogodę i klimat;
• przepływ krwi w naczyniach;
• ruch dymu, chmur czy fal oceanicznych.

W uproszczeniu równania odpowiadają na pytanie: jeśli znamy stan płynu w danym momencie, czy zawsze możemy jednoznacznie przewidzieć jego zachowanie w przyszłości?

I tutaj pojawia się problem matematyczny. Matematycy nie potrafią udowodnić, że dla trójwymiarowych przepływów zawsze istnieje rozwiązanie, które:

1. istnieje przez dowolnie długi czas;
2. jest jednoznaczne;
3. nie zawiera „osobliwości” (rozwiązań, w których wartości stają się nieskończenie duże, a więc niemożliwe na gruncie praw fizyki).

Możliwe są dwa scenariusze:

• takie poprawne rozwiązanie zawsze istnieje;
• istnieją sytuacje, w których prędkość lub turbulencje „eksplodują” do nieskończoności.

Przykład. Wyobraźmy sobie cienką smugę dymu. Na początku unosi się spokojnie i można przewidzieć jego kształt. Po chwili zaczyna się jednak wirowanie i mieszanie. Słowem: dym wpada w skomplikowane turbulencje. Równania Naviera-Stokesa opisują ten proces. Ale pojawia się pytanie: czy te wiry mogą stawać się coraz bardziej skomplikowane bez końca, aż matematyczny model „się załamie”?

Inny przykład. Wyobraźmy sobie spokojną rzekę. Wrzucamy do niej liść. Na początku łatwo przewidzieć, dokąd popłynie. Jednak gdy woda zaczyna tworzyć wiry, ruch liścia staje się bardzo złożony. Równania Naviera-Stokesa to właśnie taki wzór. Nie wiadomo jednak, czy będzie on zawsze działał.

Dlaczego to ważne? Dzięki temu moglibyśmy lepiej zrozumieć turbulencje i przepływy — w atmosferze, oceanie, wokół samolotów czy samochodów. Ułatwiłoby to wyznaczanie tras lotniczych, morskich i lądowych — bezpieczniejszych i oszczędniejszych. Dzisiaj inżynierowie używają superkomputerów do symulowania przepływu płynów. Jeśli udałoby się udowodnić poprawność równań, mielibyśmy mocniejsze podstawy teoretyczne, aby sądzić, że takie symulacje rzeczywiście opisują rzeczywistość. Rozwiązanie problemu pomogłoby też projektować lepsze zastawki, stenty czy pompy wspomagające pracę serca — w końcu krew to płyn.